QUESTÃO 89 DO ENEM 2009 RESOLVIDA E COMENTADA

O Weverton pediu e estou postando a resolução da questão 89 da prova do ENEM 2009 que seria realizada no dia 4 de outubro

DOIS HOLOFOTES IGUAIS , SITUADOS EM H1 E H2 , RESPECTIVAMENTE, ILUMINAM REGIÕES CIRCULARES, AMBAS DE RAIO "R". ESSAS REGIÕES SE SOBREPÕEM E DETERMINAM UMA REGIÃO "S" DE MAIOR INTENSIDADE LUMINOSA COMFORME A FIGURA.

(1) Vamos analisar a figura da seguinte forma:

figura 1

Do ponto B ao ponto C temos o raio , do ponto C ao ponto E, temos o mesmo raio e do ponto E ao ponto B, temos o mesmo raio.Logo o triângulo BCE e o triângulo BCF é equilátero (todos os lados e todos os ângulos congruentes).

(2) Vamos analisar a figura da seguinte forma:

figura 2

Analisando os pontos ECF vemos um setor circular

(3) Vamos analisar a figura da seguinte forma:

figura 3

Após essas 3 análises concluímos que:

a) A área S pedida poderá ser calculada por:

S = área dos triângulos equiláteros (BEC e BFC) + área pintada de verde na figura 3

b) A área verde da figura 3 poderá ser calculada da seguinte forma:

área pintada de verde =  2 [área do setor circular ECF menos área dos triângulos equiláteros (BEC e BFC)]

Observe que temos 4 pequenas áreas idênticas pintadas de verde na figura 3,então área do setor circular ECF menos a área dos dois triângulos equiláteros (BEC e BFC)  nos dá apenas a área de duas partes verdes, necessitando assim de multiplicarmos por dois para encontramos as 4 áreas verdes.Veja o esquema:

APÓS A DEVIDA INTERPRETAÇÃO VAMOS AOS CÁLCULOS:

Os triângulos BCE como o BFC tem a mesma área.Sendo eles equláteros, obrigatoriamente:

(1) todos os lados são congruentes

(2) todos os ângulos são congruentes

A área de um triângulo equilátero é dada por:

Uma vez que o lado desse triãngulo é R ,temos:

Logo, a fórmula da "letra b" ficará assim:

Todo triângulo equilátero possui seus ângulos congruentes e iguais a 60 graus, observe a figura abaixo:

A área verde ficará assim:

Simplicando e organizando tudo ,temos

 

Aplicando a fórmula deduzida na "letra a" ficará assim:

  

Lembrando que o ângulo 120° deve ser dado em radianos  (pois o enunciando diz isso) ,temos:

Simplificando e organizando tudo:

LETRA A

UFFFFAAA!!!!    FINALMENTE A RESPOSTA

PROFESSOR ANDERSON VALADARES

BOM RACIOCÍNIO