RESOLUÇÃO DA PROVA DA PMPE 2009

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RESPOSTA DA QUESTÃO DA PUC - PR

(PUC-PR) Um número A é formado por três algarismos, abc: o algarismo das dezenas é a metade do das unidades, o das centenas é o triplo do das unidades. Invertendo-se a ordem dos algarismos daquele número, obtém-se um número B, cba, igual ao número A diminuído de 396. A soma A + B – 800 é igual a:
a) 24 b) 22 c) 30 d) 26 e) 28

Caro Batista,

Realmente achei interessante a questão que você nos trouxe.Sempre que puder estarei sim resolvendo todas que me enviarem, apenas gostaria que todos os pedidos de resoluções de questões, bem como resumos e dúvidas fossem postados nesta área.

Vamos a resolução:
o número proposto é formado por algarismo das unidades (C) , algarismo das dezenas (B) e algarismos das centenas (A);Lembrando que o número , por exemplo, 358 pode ser "decomposto" assim: 100.3 + 10.5 + 8 .

Faremos o mesmo com o número ABC levando em consideração todos os dados da questão, logo:

ABC pode ser "decomposto" em 100.A + 10.B + C , vamos aplicar então o primeiro dado que é o seguinte "algarismo das dezenas é a metade do das unidades", sendo assim B = C/2 , poderemos substituir a expressão 100.A + 10.B + C por A.100 + 10.C/2. + C (o valor de B foi substituído por C/2). Levando agora em questão o segundo dado que é "o das centenas é o triplo do das unidades", temos assim A = 3C , logo A.100 + 10.C/2. + C pode ser substituído por 3C.100 + 10.C/2. + C .Deduzimos que B = C/2 e A = 3C .

O objetivo inicial dessa demonstração era montar um "esquema"/expressão em que todos os valores estivessem em função de C.Vamos a segunda parte da resolução. Montando a igualdade:
O terceiro dado que lemos é "invertendo-se a ordem dos algarismos daquele número, obtém-se um número B, cba, igual ao número A diminuído de 396" , temos então:

ABC - 396 = CBA
3C.100 + 10.C/2. + C - 396 = C.100 + 10.C/2 + 3C

resolvendo a equação acima, temos que C = 2

Deduzimos que o número ABC tem como algarismo das unidades o 2, como algarismo das dezenas o 1 , pois B = C/2 e por último, como algarismo das centenas o 6 , pois A = 3C.Logo o número A é igual a 612 e o número B é igual a 216.

Analisando a última parte do enunciado "A soma A + B – 800 é igual a" , temos:

A + B – 800 = 612 + 216 -800 = 28

Resposta: letra E

Abração
Bom raciocínio
Professor Valadares

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MEGA SENA E A MATEMÁTICA...

A Fávia Ribeiro nos enviou o problema abaixo (acho que ela andou sonhando com alguns números para jogar na mega sena).Vamos analisar:

Na Mega Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01,02,...,60). Uma aposta simples (ou aposta mínima),na mega sena,consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega Sena estarão entre as seguintes 01,02,05,10,18,32,35,45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática de que será um dos ganhadores, caso o seu sonho esteja correto é:

a)8
b)28
c)40
d)60
e)84

A primeira parte do problema diz que  "Na Mega Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01,02,...,60). Uma aposta simples (ou aposta mínima),na mega sena,consiste em escolher 6 dezenas." Explica como o jogo funciona e ambienta o aluno. Realmente um começo digno de uma revisão para o ENEM.

A segunda parte do problema trouxe 3 informações importantíssimas para a resolução do problema:

1º  "Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega Sena..." O que confima a informação anterior de que o sorteio é feito com seis dezena.

2º "estarão entre as seguintes 01,02,05,10,18,32,35,45".Esses números nos garantem que somente os números 01,02,05,10,18,32,35,45 serão utilizados no problema.

3º "O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática de que será um dos ganhadores, caso o seu sonho esteja correto é". Essa parte nos mostra que devemos ter uma certeza matemática caso o sonho de Pedro esteja correto.

Logo:

Temos o seguinte problema: Quantas são as possibilidades de formarmos conjuntos de seis dezenas distintas (apostas) com os números 01,02,05,10,18,32,35,45.

Nota: este é um problema de Análise Combinatória em que utilizaremos a fórmula de combinação simples , pois a aposta {01,02,05,10,18,32} é idêntica a aposta {02,01,32,18,10,05}, já que a ordem das dezenas não altera a aposta.Temos:

 "m" elementos tomados "p" a "p" nos dará C(m,p) possibilidades. Veja fórmula de combinação simples abaixo:

Nesse caso temos 8 elementos , ou seja, 8 números para tomarmos 6 a 6 (6 apostas de cada vez).Veja:

C (8,6) = 8!/6!(8 - 6)!

lembrando que 8! (lê-se 8 fatorial)  pode ser assim expressado: 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 ou podemos parar a multiplicação a qualquer momento podendo expressar assim 8! = 8.7! ou assim 8! = 8.7.6.5!, ou como desejarmos.Nesse caso pararemos em  8.7.6! , pois será melhor para resolução. Temos:

C (8,6) = 8.7.6!/6!2!

Simplificando 6! por 6! e sabendo que 2! = 2.1 = 2, temos

C (8,6) = 8.7.6!/6!2

C (8,6) =  8.7/2

C (8,6) = 28

Resposta: Letra B 

Abração
Bom raciocínio
Professor Valadares

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QUESTÃO 89 DO ENEM 2009 RESOLVIDA E COMENTADA

O Weverton pediu e estou postando a resolução da questão 89 da prova do ENEM 2009 que seria realizada no dia 4 de outubro

DOIS HOLOFOTES IGUAIS , SITUADOS EM H1 E H2 , RESPECTIVAMENTE, ILUMINAM REGIÕES CIRCULARES, AMBAS DE RAIO "R". ESSAS REGIÕES SE SOBREPÕEM E DETERMINAM UMA REGIÃO "S" DE MAIOR INTENSIDADE LUMINOSA COMFORME A FIGURA.

(1) Vamos analisar a figura da seguinte forma:

figura 1

Do ponto B ao ponto C temos o raio , do ponto C ao ponto E, temos o mesmo raio e do ponto E ao ponto B, temos o mesmo raio.Logo o triângulo BCE e o triângulo BCF é equilátero (todos os lados e todos os ângulos congruentes).

(2) Vamos analisar a figura da seguinte forma:

figura 2

Analisando os pontos ECF vemos um setor circular

(3) Vamos analisar a figura da seguinte forma:

figura 3

Após essas 3 análises concluímos que:

a) A área S pedida poderá ser calculada por:

S = área dos triângulos equiláteros (BEC e BFC) + área pintada de verde na figura 3

b) A área verde da figura 3 poderá ser calculada da seguinte forma:

área pintada de verde =  2 [área do setor circular ECF menos área dos triângulos equiláteros (BEC e BFC)]

Observe que temos 4 pequenas áreas idênticas pintadas de verde na figura 3,então área do setor circular ECF menos a área dos dois triângulos equiláteros (BEC e BFC)  nos dá apenas a área de duas partes verdes, necessitando assim de multiplicarmos por dois para encontramos as 4 áreas verdes.Veja o esquema:

APÓS A DEVIDA INTERPRETAÇÃO VAMOS AOS CÁLCULOS:

Os triângulos BCE como o BFC tem a mesma área.Sendo eles equláteros, obrigatoriamente:

(1) todos os lados são congruentes

(2) todos os ângulos são congruentes

A área de um triângulo equilátero é dada por:

Uma vez que o lado desse triãngulo é R ,temos:

Logo, a fórmula da "letra b" ficará assim:

Todo triângulo equilátero possui seus ângulos congruentes e iguais a 60 graus, observe a figura abaixo:

A área verde ficará assim:

Simplicando e organizando tudo ,temos

 

Aplicando a fórmula deduzida na "letra a" ficará assim:

  

Lembrando que o ângulo 120° deve ser dado em radianos  (pois o enunciando diz isso) ,temos:

Simplificando e organizando tudo:

LETRA A

UFFFFAAA!!!!    FINALMENTE A RESPOSTA

PROFESSOR ANDERSON VALADARES

BOM RACIOCÍNIO

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QUESTÃO 68 DO ENEM RESOLVIDA E COMENTADA

O Adson pediu e estou postando a resolução da questão 68 da prova do ENEM 2009 que seria realizada no dia 4 de outubro de 2009.

Uma empresa precisa comprar uma tampa para seu reservatório, que te a forma de um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura.

Considere que a base do reservatório tenha raio r = 2√3 m e que sua lateral faça um ângulo de 60° com o solo.

Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de

(1) Analisemos a figura da seguinte forma:

É fácil notar que o raio da tampa desse reservatório é dado por: X + 2√3

(2) Analisemos a a parte verde da figura da seguinte forma:

Para encontramos a o "x" da figura acima basta apenas aplicarmos trigonometria no triângulo retângulo.

O raio da tampa desse reservatório é dado por:

X + 2√3 = 4√3  + 2√3 = 6√3

A área da tampa do reservatório é dada por:

ENTÃO A ÁREA DO CÍRCULO QUE CORRESPONDE A TAMPA DO RESERVATÓRIO É

108π metros quadrados

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CURSO SIGMA

ESPAÇO RESERVADO PARA TIRAR SUAS DÚVIDAS E TAMBÉM PARA PEDIDOS DE RESOLUÇÕES DE QUESTÕES.

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QUESTÃO 65 DO NOVO ENEM RESOLVIDA E COMENTADA

A Juliana pediu para que o raciocínio da resolução da questão 65 da prova do novo ENEM, que seria realizado no dia 04 de outubro de 2009, fosse apresentado aqui. Então, vamos lá.

Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1,5,10,25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo.Todo dia da semana ela depositava uma única moeda , sempre nesta ordem: 1,5,10,25,50 , e , novamente, 1,5,10,25, 50, assim sucessivamente.Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-feira , então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$ 95,05 após depositar a moeda de

a) 1 centavo no 679° dia , que caiu numa segunda-feira.

b) 5 centavos no 186° dia , que caiu numa quinta-feira.

c) 10 centavos no 188º dia , que caiu numa quinta-feira.

d) 25 centavos no 524º dia, que caiu num sábado.

e) 50 centavos no 535 dia , que caiu numa quinta feira.

(1) Analisando as informações acima,temos .

É preciso se formar a quantia de R$95,05; mas, para isso só dispomos de moedas de 1, 5 , 10, 25 e 50 centavos, então a cada 5 dias eu tenho:

0,01 + 0,05 + 0,10 + 0,25 + 0,50 = 0,91

A cada 5 dias é depositado o total de 91 centavos

(2) Com as deduções de (1) e (2) , temos:

Deduzimos que em 104 grupos de 5 dias (R$ 0,91 por grupo de 5 dias) , ou seja 520 dias, temos o total depositado de R$ 94,64.

Restando apenas 4 depósitos: um de R$ 0,01;outro de R$ 0,05 ; outro de R$ 0,10  e o último de R$ 0,25 ; para concluir os R$ 0,41 que faltam para fechar os R$ 95,05.

(3) Poderíamos ,realmente "aumentar" a resolução da questão ,demonstrando assim como encontrar o dia da semana em que cai o último depósito, no entanto, ao verifica as alternativas vemos que somente uma é possível, pois:

Passando 520 dias depositando moedas de 1,5,10,25 e 50 centavos em um cofre ,nesta ordem, teremos o total de R$ 94,64; neste caso faltaria , apenas R$ 0,41 centavos que seriam depositados pelas moedas de 1,5, 10 e 25 centavos , ou seja mais quatro dias.Num total de 524 dias terminaríamos o total de R$ 95,05.

Única resposta seria a alternativa D.

Para os que quiserem uma análise da demonstração de como encontrar o dia da semana do último depósito  ,temos:

(4) A cada 35 dias o depósito de R$ 0,01 volta a ser feito na segunda-feira.

Observe que o primeiro depósito de 1 centavo (R$ 0,01) é feito numa segunda-feira (assim como é descrito no problema) e após 5 semanas (ou seja 35 dias) o depósito de 1 centavo (R$ 0,01) voltará  ser feito numa segunda feira.Dessa forma deduzimos que:

A cada 35 dias o depósito de R$ 0,01 volta a ser feito na segunda-feira.

(5) 35 dias de depósito correspondem a R$ 6,37; pois correspondem a 7 grupos de 5 dias e cada grupo de 5 dias correspondem a R$ 0,91 .
(6) Em 520  dias descobrimos que é depositada a quantia de R$ 94,64 e em 490 dias , ou seja 14 grupos de 35 dias, temos a quantia de 89,18.

Para fechar os 524 dias precisamos de mais 34 dias. Desta forma, analisando o gráfico apresentado acima, vemos que esse dia cai num sábado.

Abração

Bom raciocínio

Professor valadares

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